欧拉公式，也称为欧拉恒等式，是数学中一个非常优美且深具影响力的公式，它将数学中的五个最重要的数——自然对数的底 \(e\)，圆周率 \(\pi\)，虚数单位 \(i\)，单位 \(1\) 和零 \(0\) ——以一种简洁而深刻的方式联系了起来。欧拉公式可以表示为：
\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]
要理解这个公式的证明，我们首先需要了解一些基础概念，包括复数和泰勒级数。
复数
复数是一种形式为 \(a+bi\) 的数，其中 \(a\) 和 \(b\) 是实数，\(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)。在复平面上，复数 \(a+bi\) 可以被看作是一个点，其中 \(a\) 表示横坐标（实部），\(b\) 表示纵坐标（虚部）。
泰勒级数
泰勒级数是一种将函数展开为无穷级数的方法，对于某些函数，如 \(e^x, \sin(x), \cos(x)\)，它们可以被表示为无限项的多项式之和。例如，\(e^x\) 的泰勒级数为：
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]
同样地，\(\sin(x)\) 和 \(\cos(x)\) 也有类似的泰勒级数展开：
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]
\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]
欧拉公式的证明
现在，我们用 \(x=\pi\) 和 \(x=i\pi\) 来应用这些泰勒级数。考虑 \(e^{ix}\) 的泰勒级数：
\[ e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \cdots \]
根据 \(i^2 = -1\)，我们可以重写上述表达式：
\[ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \]
这个级数可以被重新组织为两个部分：一个只包含实数项的部分和一个只包含虚数项的部分。通过观察，我们可以发现这实际上是 \(\cos(x)\) 和 \(i\sin(x)\) 的泰勒级数之和：
\[ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \]
这就是著名的欧拉公式。当我们将 \(x = \pi\) 代入时，我们得到：
\[ e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + 0i \]
因此，
\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]
这就完成了欧拉公式的证明。