线性插值法是一种在数学和计算机科学中常用的数值分析方法，主要用于估计两个已知数据点之间的未知值。这种方法简单且有效，在图形处理、信号处理以及工程计算等领域有着广泛的应用。
线性插值的基本概念
假设我们有两个已知的数据点（x0, y0）和（x1, y1），其中x0和x1是自变量的值，y0和y1是对应的因变量的值。现在我们需要估计在这两点之间任意一点x处的函数值y。线性插值就是基于这两个已知点来构建一条直线，并通过这条直线来估计未知点的值。
线性插值的计算公式
线性插值的计算公式如下：
\[ y = y_0 + \frac{(x - x_0) \times (y_1 - y_0)}{(x_1 - x_0)} \]
这个公式的含义是：从点(x0, y0)到点(x1, y1)的直线上任一点(x, y)的y值可以通过上述公式计算得出。其中分子表示了x与x0的距离乘以y1和y0的差，分母表示了x1和x0的差，整个分数部分实际上是在计算x相对于x0的位置比例，然后将这个比例应用到y1和y0的差上，最后加上y0得到最终的y值。
应用实例
假设我们有一个温度随时间变化的数据集，已知上午9点时温度为20°C，下午3点时温度为26°C。如果我们要估计中午12点的温度，可以使用线性插值法。这里x0=9, y0=20, x1=15, y1=26, x=12。代入公式计算得：
\[ y = 20 + \frac{(12 - 9) \times (26 - 20)}{(15 - 9)} = 20 + \frac{3 \times 6}{6} = 23 \]
因此，中午12点的估计温度为23°C。
线性插值法因其简单直观而被广泛应用，但在实际应用中需要注意，当数据点之间的关系并非线性时，这种方法可能不够准确。对于更复杂的情况，可能需要采用更高阶的插值方法。