特征向量是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、工程以及计算机科学等领域。在矩阵理论中，特征向量与特征值密切相关，它们共同描述了线性变换的性质。本文将简要介绍如何求解一个矩阵的特征向量。
1. 特征值和特征向量的定义
对于一个给定的\(n \times n\)方阵\(A\)，如果存在一个非零向量\(\mathbf{v}\)和一个标量\(\lambda\)，使得：
\[ A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \]
则称\(\lambda\)为矩阵\(A\)的一个特征值，而\(\mathbf{v}\)是对应于\(\lambda\)的特征向量。
2. 求解特征值
首先，我们需要找到矩阵\(A\)的所有特征值。这可以通过解特征方程来实现：
\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
其中，\(I\)是单位矩阵，\(\det\)表示行列式。这个方程是一个关于\(\lambda\)的多项式方程，其根就是矩阵\(A\)的特征值。
3. 求解特征向量
一旦找到了所有的特征值\(\lambda_i\)，我们就可以通过解线性方程组来找到对应的特征向量。具体地，对于每个特征值\(\lambda_i\)，我们求解以下方程：
\[ (A - \lambda_i I)\mathbf{v} = 0 \]
这里\(\mathbf{v}\)即是我们要找的特征向量。注意，这里的方程组通常没有唯一解，因为如果\(\mathbf{v}\)是一个解，则任何非零倍数\(c\mathbf{v}\)（\(c \neq 0\)）也是解。因此，我们通常寻找的是非零解空间的一组基。
4. 示例
假设有一个\(2 \times 2\)的矩阵：
\[ A = \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix} \]
- 计算特征值：首先，解特征方程\(\det(A - \lambda I) = 0\)。
\[ \det\left(\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\right) = 0 \]
\[ \det\begin{pmatrix}
2-\lambda & 1 \\
1 & 2-\lambda
\end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \]
解得\(\lambda_1 = 1\)，\(\lambda_2 = 3\)。
- 计算特征向量：对于\(\lambda_1 = 1\)，解方程\((A - \lambda_1 I)\mathbf{v} = 0\)。
\[ \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}\mathbf{v} = 0 \]
解得\(\mathbf{v}_1 = k\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\)，其中\(k\)是非零常数。
类似地，可以找到另一个特征值\(\lambda_2 = 3\)对应的特征向量\(\mathbf{v}_2\)。
通过以上步骤，我们可以系统地求出任意方阵的特征向量。